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120 5. Teor´ ıa de la credibilidad

Poisson con media λ, y la distribuci´on normal con media θ. Encontraremos
que en estos casos la prima pura de riesgo tiene la forma de la credibilidad
parcial mencionada antes.
Ejemplo 5.4 (Modelo Poisson-gama) Este modelo adquiere su nom-
bre a partir de las siguientes hip´otesis: se postula que cadauna de las
variables aleatorias independientes S 1 ,... ,S m tiene distribuci´on Poisson
con par´ametro λ,el cual se considera aleatorio con distribuci´on a priori
gama γ, α ,con γ y α par´ametros conocidos. Observe que en este modelo
E S λ yse considera que los montos de las reclamaciones toman valores
enteros. La funci´on de densidad a posteriori de λ es, para x 0,
f S 1 ,... ,S m λ h λ
g λ S 1 ,... ,S m
f S 1 ,... ,S m λ h λ dλ
0
m γ
λ S j α
e λ λ γ 1 e αλ
S j ! Γ γ
j 1
m γ
λ S j α
e λ λ γ 1 e αλ dλ
S j ! Γ γ
0 j 1
¯
λ mS γ 1 e m α λ
¯
λ mS γ 1 e m α λ dλ
0
¯
m α mS γ λ mS γ 1 e m α λ .
¯
Γ mS ¯ γ
¯
Es decir, la densidad a posteriori es gama mS γ,m α .Porlo tanto la
prima por credibilidad, esperanza de esta densidad, es

prima E S
ˆ
λ
E λ S 1 ,... ,S m
¯
mS γ
m α
m α γ
¯
S
m α m α α
¯
z S 1 z γ ,
α