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5.2. Credibilidad Bayesiana 119

Por lo tanto, la densidad a posteriori para p es

1 a m¯x 1 m m¯x b 1
g p x 1 ,... ,x m p 1 p .
B a m¯x, m m¯x b

Esta es la densidad beta a m¯x, m m¯x b ,ysu esperanza puede usarse
como un estimador Bayesiano para p,esdecir,

a m¯x
ˆ p
m a b
m m a
¯ x 1 . (5.10)
m a b m a b a b
Esta ´ultima expresi´on para el estimador Bayesiano es interesante pues tiene
la misma forma que la que se hab´ıa propuesto en la credibilidadparcial. Ob-
serve que en la ecuaci´on (5.10) conforme el tama˜no de la muestra m crece,
el estimador Bayesiano para la media toma esa informaci´on y le asocia un
peso mayor a la media muestral ¯x en detrimento de la media de la distribu-
ci´on apriori a a b .

Ahora aplicaremos estas ideas al problema del c´alculo de primas tomando
en cuenta la experiencia de un riesgo. Suponga que las variables S 1 ,... ,S m
representan el historial de reclamaciones en m a˜nos o periodos que se han
registrado de un riesgo dado. Suponga adem´as que estas variables son in-
dependientes y todas ellas tienen una distribuci´on com´un dependiente de
un par´ametro desconocido θ. Por lo tanto la esperanza del riesgo E S es
una funci´on de este par´ametro θ. Bajo el enfoque Bayesiano se considera
que el par´ametro θ es una variable aleatoria para la cual se asume una dis-
tribuci´on de probabilidad a priori. La esperanza a posteriori de θ,es decir,
ˆ
θ E θ S 1 ,... ,S m , representa una estimaci´on para θ tomando en cuenta
el historial S 1 ,... ,S m . As´ı, podemos incorporar este estimador Bayesiano
en el c´alculo de E S y encontrar la prima pura de riesgo. En los ejemplos
que consideraremos E S es directamente el par´ametro θ y por lo tanto su
ˆ
estimaci´on θ es la prima pura de riesgo para S,esdecir,
E S θ ˆ E θ S 1 ,... ,S m .

A esta esperanza aposteriori se le llama prima de credibilidad Bayesiana.
Los casos que consideraremos para la distribuci´on de S son: la distribuci´on