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5.2. Credibilidad Bayesiana 121

en donde z m m α es el factor de credibilidad. Esta cantidad crece
mon´otonamente a 1 cuando m crece a infinito, dando cada vez m´as credibili-
¯
dad a la media muestral S yfavoreciendo cada vez menos a la media te´orica
γ α.Observe adem´as que cuando m crece a infinito, la media de la distribu-
ci´on a posteriori converge a la media muestral l´ımite dado por el historial de
¯
reclamaciones, y que la varianza de λ dada por Var λ mS γ m α 2
converge a cero, lo cual indica que la distribuci´on a posteriori se concentra
cada vez m´as alrededor de su media.

Ejemplo 5.5 (Modelo normal-normal) En este modelo se postula que
2
cada una de las reclamaciones S 1 ,... ,S m tiene distribuci´on N θ, σ ,en
2
donde el par´ametro σ es conocido y la media θ es una variable aleatoria con
2
2
distribuci´on N µ, η ,con µ y η conocidos. La primera hip´otesis puede ser
justificada en el caso cuando los montos anuales se componen de un gran
n´umero de reclamaciones individuales, para ello no es necesario suponer
que las reclamaciones individuales tienen la misma distribuci´on. La segunda
2
hip´otesis podr´ıa ser razonable si es que los par´ametros µ y η son tales que la
probabilidad asignada a la parte negativa del eje es muy peque˜na. Tenemos
nuevamente en este caso la situaci´on E S θ ynuestro objetivo esestimar
mediante estad´ıstica Bayesiana este par´ametro desconocido. La funci´on de
densidad a posteriori de θ es
f S 1 ,... ,S m θ h θ
g θ S 1 ,... ,S m
f S 1 ,... ,S m θ h θ θ dθ

1 m S j θ 2 2σ 2 1 2 2
e j 1 e θ µ 2η
2πσ 2 2πη 2
.
1 m S j θ 2 2σ 2 1 2 2
e j 1 e θ µ 2η dθ
2πσ 2 2πη 2
Nos concentramos en analizar ´unicamente el exponente. Tenemos que

m 2 2 ¯
S j θ θ µ 2 m 1 mS µ
θ 2θ
2σ 2 2η 2 2σ 2 2η 2 2σ 2 2η 2
j 1
m 2 2
S µ
j .
2σ 2 2η 2
j 1