Page 132 - riesgo2012

122 5. Teor´ ıa de la credibilidad

Completando el cuadrado en θ,estaexpresi´on se puede escribir comosigue

¯
mS µ m 1 mS ¯ µ
θ 2 2 m 2 2
σ 2 η 2 σ 2 η 2 σ 2 η 2 S j µ .
m 1 m 1 2σ 2 2η 2
2 1 2 j 1
σ 2 η 2 σ 2 η 2
Este exponente aparece tanto en el numerador como en el denominador, y
como los ´ultimos dos sumandos no dependen de θ ´estos desaparecen comple-
tamente al efectuar el cociente. Lo que resulta es nuevamentela distribuci´on
normal
¯
mS µ m 1
θ 2
1 σ 2 η 2 σ 2 η 2
g θ S 1 ,... ,S m exp .
m 1 m 1 1
2π 1 2 2 2
σ 2 η 2 σ η
La media de esta distribuci´on es entonces la prima por credibilidad, es decir,

prima E S
ˆ
θ
E θ S 1 ,... ,S m
¯
mS µ m 1
σ 2 η 2 σ 2 η 2
mη 2 σ 2
¯
S µ
mη 2 σ 2 mη 2 σ 2
¯
z S 1 z µ,
en donde z mη 2 mη 2 σ 2 es el factor de credibilidad, el cual tiene
nuevamente comportamiento mon´otono creciente a 1 conforme m crece a
infinito. Observe adem´as que Var θ m 1 1 yque esta cantidad
σ 2 η 2
converge a cero cuando el tama˜no de muestra m crece a infinito, indican-
do nuevamente que la distribuci´on a posteriori se concentra cada vez m´as
alrededor de su media.

En los ejemplos anteriores ha sucedido que la distribuci´on aposteriori
g θ x 1 ,... ,x m para el par´ametro de inter´es θ pertenece a la misma familia