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118 5. Teor´ ıa de la credibilidad

De esta forma la distribuci´on apriori h θ representa cierta informaci´on que
el observador conoce del par´ametro θ antes de tomar la muestra, y la as´ı lla-
mada distribuci´on aposteriori g θ x 1 ,... ,x m es la distribuci´on modificada
a la luz de la muestra aleatoria. Teniendo ahora esta distribuci´on aposteri-
oripara θ, uno puede proponer varias formas de estimar este par´ametro, una
de ellas es simplemente tomar la esperanza de esta distribuci´on, es decir, un
estimador Bayesiano para θ es

θ ˆ E θ x 1 ,... ,x m θ g θ x 1 ,... ,x m dθ.

En general, la expresi´on que pueda encontrarse para la distribuci´on apos-
teriori para θ usando la f´ormula (5.9) puede ser muy complicada y no ser
una distribuci´on con la cual estemos familiarizados. Ilustraremos estas ideas
con un ejemplo particular en donde el resultado final, sin embargo, es una
distribuci´on conocida. Aplicaremos despu´es la estimaci´on Bayesiana al pro-
blema de calcular primas puras de riesgo tomando en cuenta el historial de
reclamaciones.

Ejemplo 5.3 Suponga que X 1 ,... ,X m es una muestra aleatoria de la dis-
tribuci´on Ber p ,y suponga adem´as que elpar´ametro p tiene una distribu-
ci´on beta a, b ,con a y b conocidos. Observe que el soporte de la distribu-
ci´on beta es el intervalo 0, 1 ,de modo que en este sentido tal distribuci´on
es factible para el par´ametro p.La densidad conjunta de la muestra y el
par´ametro es

f x 1 ,... ,x m ,p f x 1 ,... ,x m p h p
1
p m¯x 1 p m m¯x p a 1 1 p b 1
B a, b
1
p a m¯x 1 1 p m m¯x b 1 .
B a, b

Integrando respecto a p se obtiene la densidad marginal de la muestra,

1 1 a m¯x 1 m m¯x b 1
f x 1 ,... ,x m p 1 p dp
B a, b 0
B a m¯x, m m¯x b
.
B a, b