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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 214 — #220
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214 7. Martingalas

2
E τ E X .Ahora no es tan sencillo calcular esta esperanza pues X 2
τ τ
2
2
puede tomar dos valores, b o a .Entonces,
2
2
E τ E X τ 2 b P X τ b a P X τ a .
Defina u k P X τ b X 0 k .Usando an´alisis delprimer paso, es decir,
condicionando sobre el valor que toma la caminata aleatoria en el primer
paso, puede comprobarse que la probabilidad u k cumple la ecuaci´on en
diferencias

2u k u k 1 u k 1 ,
0, y cuya soluci´on es
con condiciones de frontera u b 1y u a
a k
u k .
a b
An´alogamente, definiendo v k P X τ a X 0 k ,se encuentra que v k
cumple la ecuaci´on en diferencias

2v k v k 1 v k 1 ,

con condiciones de frontera v b 0y v a 1, y cuya soluci´on es
b k
v k .
a b
Por lo tanto,

E τ E X 2
τ
2 2
b P X τ b a P X τ a
2 2
b u 0 a v 0
a b
b 2 a 2
a b a b
ab.
Cuando a b se recupera el resultado del caso cuando la barrera es sim´etri-
ca.

Caso caminata asim´etrica, barrera asim´etrica
En este caso el proceso X n : n 0 no es una martingala pero debido a la
propiedad de incrementos independientes, el proceso centrado

X n n p q : n 0

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