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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 217 — #223
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7.8. Algunas desigualdades 217

La sucesi´on de eventos τ n es mon´otona decreciente y por lo tanto
convergente, su l´ımite es el evento τ que tiene probabilidad cero.
El primer sumando por lo tanto se hace peque˜no cuando n crece. Como
E τ ,la sucesi´on de variables τ1 τ n es tambi´en decreciente y
consta de variables aleatorias integrables cuyo l´ımite es cero c.s. El
segundo sumando por tanto tambi´en converge a cero.

7.8. Algunas desigualdades

En esta secci´on se demostrar´an algunas desigualdades asociadas a sub-
martingalas. No haremos mayor uso de ellas en lo sucesivo peroen sus
demostraciones se pondr´an en pr´actica algunos resultadosestudiadosantes.

Proposici´on 7.2 (Desigualdad maximal de Doob) Sea X n : n 1
una submartingala no negativa y defina X n m´ax X 1 ,... ,X n .Entonces
para cualquier λ 0,
λ P X n λ E X n 1 X n λ .

Demostraci´on. Para cada n natural defina el tiempo de paro

τ n m´ın 1 k n : X k λ .
Es decir, τ es el primer momento hasta n en el que el proceso alcanza o rebasa
el valor λ.Si talevento nunca ocurre, entonces τ n.Como X n : n 1
es una submartingala y 1 τ n,se tiene que E X n E X τ .Observe
que si ocurre el evento X n λ ,entonces X τ λ,y siocurre X n λ ,
entonces τ n.Por lo tanto,

E X n E X τ
E X τ 1 E X τ 1
X n λ X n λ
λ P X λ E X n 1 .
n X n λ
Es decir,

λ P X n λ E X n E X n 1 X n λ
E X n 1 .
X n λ
!

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