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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 216 — #222
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216 7. Martingalas

a) Demostraremos que τ c.s. La estrategia consiste en considerar
bloques sucesivos de 2b pasos en la caminata aleatoria. Observe que
el evento τ es el l´ımite de la sucesi´on decreciente de eventos
τ 2bk ,para k 1, 2,...,y que elevento τ 2bk est´a contenido
en el evento “Ninguno de los primeros k bloques contiene ´unicamente
valores 1”. La utilidad de este evento mayor radica en que es f´acil
calcular su probabilidad, como veremos a continuaci´on. Tenemos que

P τ l´ım P τ 2bk
k
l´ım P “Ninguno de los primeros k bloques
k
contiene ´unicamente valores 1”
l´ım 1 1 2 2b k
k
0.

2
b) Demostraremos ahora que E X τ 2 τ .Como X τ 2 b ,se tiene
que

E X τ 2 τ b 2 E τ

b 2 kP τ k
k 0
2b
b 2 2bk j P τ 2bk j
k 0 j 1
2b
b 2 2b k 1 P τ 2bk
k 0 j 1

b 2 2b 2 k 1 1 1 2 2b k
k 0
.

c) Finalmente verificaremos que E X n 2 n 1 τ n 0, cuando .

2
2
E X n n 1 τ n E X 1 τ n E n1 τ n
n
2
N P τ n E τ1 τ n .

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