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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 218 — #224
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218 7. Martingalas

2
Proposici´on 7.3 (Desigualdad maximal de Doob en L ) Sea X n :
n 1 una submartingala no negativa y cuadrado integrable. Para X n
m´ax X 1 ,... ,X n se tiene que
2
E X n 2 4 E X .
n
Demostraci´on. El segundo momento de una variable aleatoria no nega-
tiva X puede expresarse, cuando existe, de la siguiente forma:

E X 2 2 xP X x dx.
0
Usando esta expresi´on, la desigualdad maximal de la Proposici´on 7.2, el
teorema de Fubini y despu´es la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que

E X n 2 2 xP X n x dx
0
2 E X n 1 dx.
X n x
0
2 X n dP dx
0 X n x
X n
2 X n dx dP
Ω 0
2 X n X dP
n
Ω
2E X n X n
2 E X n 2 E X n 2 .

Por lo tanto,
E X n 2 2 E X n .
2
E X n 2
Elevando al cuadrado se obtiene el resultado. !

7.9. Convergencia de martingalas

En esta secci´on revisaremos algunos elementos que nos llevar´an a enunciar y
demostrar el teorema de convergencia de submartingalas de Doob. Usaremos
algunas herramientas de la teor´ıa de la medida.

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