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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 213 — #219
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7.7. Teorema de paro opcional y aplicaciones 213

Como una aplicaci´on del teorema de paro opcional calcularemos algunos
tiempos medios de arribo en caminatas aleatorias.

Caso caminata sim´etrica, barrera sim´etrica
Sea X n : n 0 una caminata aleatoria sim´etrica simple sobre Z que inicia
en cero, y sea b 1unentero
cualquiera. Defina el tiempo de paro X n ω
b
τ m´ın n 1: X n b ,

es decir, τ es el primer momento en el n
τ
que la caminata alcanza, en valor ab-
soluto, el nivel b,v´ease la Figura 7.3.
b
Nos interesa encontrar E τ ,esto es, el
n´umero promedio de pasos que le toma
ala caminata llegar al nivel b.Sabe- Figura 7.3
mos que tanto el proceso X n : n 0
como X n 2 n : n 0 son martin-
galas. Suponiendo de manera preliminar que las condiciones del teorema de
paro opcional se cumplen, se tiene que E X τ 2 τ E X 1 2 1 0. Por lo
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tanto, E τ E X τ 2 b .La ´ultima igualdad se obtiene al observar que
X τ b.En palabras,este resultado dice que la caminata aleatoria sim´etri-
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ca simple que inicia en cero necesita, en promedio, b pasos para alcanzar,
en valor absoluto, el nivel b.

Caso caminata sim´etrica, barrera asim´etrica
Generalizaremos ahora el c´alculo del p´arrafo anterior para el caso en el que
se tiene una barrera inferior a yuna barrera superior b,con a, b N,no
necesariamente id´enticos. La idea es aplicar nuevamente elteorema de paro
opcional aunque los c´alculos no son tan inmediatos. Supongamos entonces
que X n : n 0 es una caminata aleatoria sim´etrica simple que inicia en
cero y defina el tiempo de paro

τ m´ın n 0: X n b ´o X n a ,

en donde a, b N.Nuevamente el proceso centrado X 2 n : n 0 es una
n
martingala y por lo tanto E X τ 2 τ E X 2 1 0, de donde se obtiene
1

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