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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 212 — #218
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212 7. Martingalas

7.7. Teorema de paro opcional y aplicaciones

Hemos observado antes que para una martingala X n : n 1 se cumple
E X 1 ,para cualquier valor de n.Si adem´as se tiene un
que E X n
tiempo de paro finito τ,no necesariamente es cierto que E X τ E X 1 ,e
incluso expresiones como E X τ podr´ıan no ser finitas como en la estrategia
de juego llamada martingala analizada en la secci´on anterior. El siguiente
resultado establece condiciones bajo las cuales la variable X τ tiene la misma
esperanza que la martingala.

Teorema 7.1 (Teorema de paro opcional) Sea X n n 1 una mar-
tingala y sea τ un tiempo de paro finito, ambos respecto de una filtraci´on
F n n 1 ,tales que:

a) X τ es integrable.
b) l´ım E X n 1 τ n 0.
n
Entonces E X τ E X n ,para cualquier n 1.

Demostraci´on. La observaci´on importante es que para cualquier n 1,

X τ X τ n X τ X n 1 τ n .

Tomando esperanza y usando el hecho de que X τ n es una martingala,

E X τ E X τ n E X τ X n 1 τ n
E X 1 E X τ 1 τ n E X n 1 τ n .

Como el proceso original es una martingala, el primer sumandoes E X n .
Haciendo n ,el tercer sumando se anula por hip´otesis.Usando la
hip´otesis de integrabilidad de X τ yel teorema de convergencia dominada,
el segundo sumando converge tambi´en a cero pues es la cola de la serie
convergente

E X τ E X k 1 τ k E X k 1 τ k .
k 1 k 1
!

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