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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 215 — #221
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7.7. Teorema de paro opcional y aplicaciones 215

lo es. Suponiendo nuevamente que las condiciones del teoremade paro op-

cional se cumplen, se tiene que E X τ τ p q E X 1 p q 0.
De donde se obtiene E τ E X τ p q .El problema es nuevamente
encontrar E X τ .Tenemos que

E X τ bP X τ b aP X τ a .
Defina nuevamente u k P X τ b X 0 k .Usando an´alisis del primer
paso puede comprobarse que u k cumple la ecuaci´on en diferencias

u k pu k 1 qu k 1 ,

con condiciones de frontera u b 1y u a 0, y cuya soluci´on es
p q b k p q a b
u k .
1 p q a b

An´alogamente, definiendo v k P X τ a X 0 k ,se encuentra que v k
cumple la ecuaci´on en diferencias

v k pv k 1 qv k 1 ,

con condiciones de frontera v b 0y v a 1, y cuya soluci´on es
q p a k q p a b
v k .
1 q p a b
Por lo tanto,

E X τ bu 0 av 0
p q b p q a b q p a q p a b
b a
1 p q a b 1 q p a b
1 p q b
b a b .
1 p q a b
Entonces,
b a b 1 p q b
E τ .
p q p q 1 p q a b
Verificaremos a continuaci´on la validez de las tres condiciones del teorema
de paro opcional para esta aplicaci´on cuando la caminata y las barreras son
sim´etricas.

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