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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 219 — #225
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7.9. Convergencia de martingalas 219

Proposici´on 7.4 Sea X n : n 0 una submartingala y sean τ 1 y τ 2 dos
tiempos de paro acotados tales que 0 τ 1 τ 2 N,con N N fijo.
Entonces
.
E X τ 1 E X τ 2
Demostraci´on. Sea k fijo tal que k n N.Entonces

E X n 1 1 τ 1 k 1 τ 2 n E E X n 1 1 τ 1 k 1 τ 2 n F n
E E X n 1 F n 1 τ 1 k 1 τ 2 n
E X n 1 τ 1 k 1 τ 2 n .

Por lo tanto,
E X τ 2 n 1 τ 1 k E X τ 2 1 τ 1 k 1 τ 2 n E X n 1 τ 1 k 1 τ 2 n
1 1 E X n 1 1 1
E X τ 2 τ 1 k τ 2 n τ 1 k τ 2 n
E X 1 .
τ 2 n 1 τ 1 k
Esto quiere decir que la funci´on n E X τ 2 n 1 τ 1 k es mon´otona cre-
ciente. Evaluando esta funci´on en n k ydespu´es en n N se obtiene la
desigualdad
E X k 1 τ 1 k E X τ 2 1 τ 1 k .
Entonces,

N
1
E X τ 1 E X τ 1 τ 1 k
k 0
N
E X k 1 τ 1 k
k 0
N
1
E X τ 2 τ 1 k
k 0
.
E X τ 2
!

N´umero de cruces
Sea X k : k 0 un proceso adaptado a una filtraci´on F k k 0 ,y sean a b
dos n´umeros reales. Consideraremos que n es un n´umero natural cualquiera.

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