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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 211 — #217
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7.6. Una aplicaci´ on: estrategias de juego 211

gana la apuesta n 1, entonces su capital al tiempo n 1es

n 1
1 2 1 2 2 2 n 1 2 n 2 k 2 n

n apuestas perdidas apuesta n 1ganada k 0
1 2 n n
2
1 2
1 2 n 2 n
1.

De esta manera si el jugador pudiera mantener esta estrategiade juego
tendr´ıa una unidad ganada por cada acierto que haya conseguido. Parece
ser una estrategia segura de ganar, sin embargo, veamos cu´anto, en prome-
dio, podr´ıa ser su d´eficit justo antes de recuperarse, es decir, calcularemos
E X τ 1 ,en donde τ es el tiempo de paro en el que el jugador acierta por
primera vez. Puede comprobarse que este tiempo de paro es finito casi segu-
ramente, es decir, P τ 1. De hecho, con probabilidad uno, el jugador
tendr´ıa eventualmente un ´exito aun cuando sus probabilidades de acertar
fueran peque˜nas. Como hemos visto, despu´es de n apuestas consecutivas
perdidas el capital empe˜nado es
n
1 2 1 2 2 2 n 1 1 2 ,
yla probabilidad de perder n apuestas sucesivas y ganar la apuesta n 1
es 1 2 n 1 .Por lo tanto,

E X τ 1 E X τ 1 τ n P τ n
n 1
E X n 1 P τ n
n 1
1
1 2 n 1
2 n
n 1
.

Es decir, se requerir´ıa de un capital promedio infinito y poder apostar una
infinidad de veces para llevar a cabo con ´exito esta estrategia, algo no muy
factible en t´erminos de dinero y tiempo.

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