Page 216 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 208 — #214
✐ ✐

208 7. Martingalas

Es decir, como funci´on del par´ametro n el proceso se vuelve constante a
partir del tiempo aleatorio τ.

Medibilidad y adaptabilidad de X τ n
Las variables del proceso detenido son efectivamente variables aleatorias y
el proceso mismo es adaptado a la misma filtraci´on, pues para cualquier
n´umero real x,y para cada n´umero natural n,
n
X τ n x τ k X k x τ n X n x .
k 1
La expresi´on del lado derecho es claramente un elemento de F n .Siel proceso
original es integrable, entonces el proceso detenido es tambi´en integrable,
pues

E X τ n E X τ 1 τ n E X n 1 τ n
n
E X k 1 τ k E X n 1 τ n
k 1
n
E X k E X n .
k 1
Por ejemplo, considere que X n : n 1 es la martingala del juego de
apuestas. Suponga que el jugador decide dejar de jugar cuandopierda todo
su capital o cuando consigue ganar el doble de su capital inicial. El momento
aleatorio en el que ocurre alguno de estos dos eventos es un tiempo de paro τ.
El capital del jugador en cualquier tiempo n puede expresarse como X τ n .Se
puede demostrar que si X n : n 0 es un proceso adaptado a la filtraci´on
F n n 0 ,y τ es un tiempo de paro con valores en 0, 1,... que adem´as
es finito, es decir, P τ 1, entonces X τ es una variable aleatoria.
Teniendo como v´alido este resultado, demostraremos a continuaci´on que
una martingala detenida sigue siendo martingala.

Proposici´on 7.1 Si X n : n 0 es una martingala, submartingala o
supermartingala, y τ es un tiempo de paro respecto de la misma filtraci´on,
entonces el proceso detenido X τ n : n 0 tambi´en lo es.
Demostraci´on. Hemos demostrado antes que el proceso detenido es
adaptado e integrable. Resta demostrar la propiedad de martingala. El caso

✐ ✐

✐ ✐