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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 207 — #213
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7.5. Procesos detenidos 207

Es claro que X 0 1, y que despu´es del n-´esimo ensayo hay n 2bolas en la
urna. Adem´as 1 X n n 1, y por lo tanto E X n .Las probabilidades
de transici´on son las siguientes

k
P X n 1 k 1 X n k ,
n 2
n 2 k
y P X n 1 k X n k .
n 2

Observe que se puede escribir X n 1 X n Y n 1 ,en donde Y n 1 es una
variable aleatoria que toma el valor 1cuandose escoge unabola blanca
en la extracci´on n 1, y el valor 0 cuando la bola escogida es negra, por lo
tanto,

n 2 X n X n n 3
E X n 1 X n X n 0 1 X n .
n 2 n 2 n 2
Este c´alculo demuestra que el proceso X n : n 0 no es una martingala.
Sin embargo, si se define M n X n n 2 ,lo cual representa la fracci´on de
bolas blancas en la urna despu´es de la n-´esima extracci´on, entonces se tiene
que
X n 1 X n
E M n 1 F n E F n M n .
n 3 n 2
Es decir, hemos comprobado que el proceso M n : n 0 es una martingala.
¿Se modifica el resultado si la configuraci´on inicial de la urna es distinta a
la considerada? ¿Se modifica el resultado si en lugar de agregar una bola
adicional se agregan r bolas del mismo color?

7.5. Procesos detenidos

Sea X n n 0 un proceso estoc´astico adaptado a una filtraci´on F n n 0 ,
ysea τ un tiempo de paro respecto de la misma filtraci´on. En ocasiones
es necesario considerar un proceso de la forma X τ n ,en donde τ n
m´ın τ,n .Aeste tipo de procesos se les llama procesos detenidos, por ejem-
plo, suponga que τ k,entonces,
X n si n k,
X τ n
X k si n k.

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