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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 206 — #212
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206 7. Martingalas

es integrable y adaptado. Adem´as, para cada 0 s t,

E X t λt F s E X t F s λt
E X t X s X s F s λt
E X t X s F s X s λt
E X t X s X s λt
λ t s X s λt
X s λs.

Este ejemplo es un caso particular del siguiente resultado que el lector puede
f´acilmente verificar siguiendo el c´alculo anterior: si un proceso integrable
X t : t 0 tiene incrementos independientes, entonces el proceso centrado
X t E X t : t 0 es una martingala.

Martingala de la esperanza condicional
Sea X una variable aleatoria integrable, y sean F 1 y F 2 dos sub σ-´algebras
tales que F 1 F 2 .No es dif´ıcil comprobar la siguiente propiedad de la
esperanza condicional:

E E X F 2 F 1 E X F 1 .
Sea F n n 1 una filtraci´on dada. Usando la identidad anterior demostra-
E X F n es
remos que la sucesi´on de variables aleatorias dada por X n
una martingala. Es claro que cada una de estas variables es integrable y por
definici´on de esperanza condicional el proceso es adaptado alafiltraci´on.
Adem´as

E X n 1 F n E E X F n 1 F n E X F n X n .

Martingala de la urna de Polya
Suponga que una urna contiene inicialmente una bo-
la blanca y una bola negra. Un experimento consiste
en escoger una bola al azar y regresarla a la urna
junto con otra bola del mismo color. Este experi-
mento se repite varias veces. Sea X n el n´umero de Figura 7.1
bolas blancas en la urna despu´es del n-´esimo ensayo.

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