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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 203 — #209
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7.3. Martingalas 203

Ejemplo 7.3 (Tiempo de segundo arribo) Sea nuevamente X 1 ,X 2 ,...
una sucesi´on de variables aleatorias adaptada a la filtraci´on F n n 1 ,y sea
A un conjunto de Borel de R.Dado un tiempo deparo finito τ 1 ,defina ahora
un segundo tiempo de paro de la siguiente forma:

τ 2 m´ın n τ 1 : X n A .
Es decir τ 2 es el primer momento, despu´es de τ 1 ,en el que el proceso toma
un valor dentro del conjunto A.Naturalmente se cumple τ 1 τ 2 .Esta nueva
variable resulta tambi´en ser un tiempo de paro, pues el siguiente conjunto
es un elemento de F n .

n 1
τ 2 n τ 1 k X k 1 A X n 1 A X n A .
k 1
En el caso de tiempos continuos, la definici´on de tiempo de paro es la si-
guiente.

Definici´on 7.5 Una variable aleatoria τ : Ω 0, es un tiempo
de paro respecto de una filtraci´on F t t 0 si se cumple que para cada t 0,

τ t F t .

7.3. Martingalas

Definici´on 7.6 Se dice que un proceso a tiempo discreto X n : n 1 es
una martingala respecto de una filtraci´on F n n 1 si cumple las siguiente
tres condiciones:

a) Es integrable.

b) Es adaptado a la filtraci´on.

c) Para cualesquiera n m,
X n , c.s. (7.1)
E X m F n
Cuando en lugar de (7.1) se cumple la desigualdad E X m F n X n ,en-
tonces el proceso es una submartingala, y si E X m F n X n ,entonces es
una supermartingala.

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