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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 205 — #211
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7.4. Ejemplos 205

sucesi´on de n´umeros reales creciente y acotada es convergente. Para procesos

atiempo continuo, lacondici´on de martingala se escribe E X t F s X s ,
para cualesquiera tiempos s y t tales que 0 s t,sin olvidar la condi-
ciones de adaptabilidad e integrabilidad para poder llamar atal procesouna
martingala.

7.4. Ejemplos

Veremos a continuaci´on algunos ejemplos de martingalas.

Martingala del juego de apuestas
Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias independientes id´entica-
mente distribuidas y con esperanza finita. Defina X n ξ 1 ξ n ,y
considere la filtraci´on F n σ ξ 1 ,... , ξ n .La variable aleatoria X n puede
interpretarse como la fortuna de un jugador despu´es de n apuestas sucesivas
en donde la ganancia o p´erdida en la k-´esima apuesta es ξ k .Claramente el
proceso X n : n 1 es integrable y es adaptado. Adem´as, para cada n 1,

E X n 1 F n E X n ξ n 1 F n
X n E ξ n 1 F n
X n E ξ n 1 .

Cuando el resultado promedio de cualquiera de las apuestas escero, el se-
gundo sumando se anula y se tiene un ejemplo de martingala, es decir, un
juego justo. En particular, una caminata aleatoria sim´etrica es una mar-
tingala. Si el resultado promedio de las apuestas es mayor o igual a cero,
X n ,y por lo tanto elproceso es una submartingala,
entonces E X n 1 F n
un juego favorable al jugador. Finalmente, cuando el resultado promedio de
cualquier apuesta es menor o igual a cero, el proceso es una supermartin-
gala pues E X n 1 F n X n ,correspondiente a un juego desfavorable al
jugador.

Martingala del proceso de Poisson centrado
Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ.Entonces elproceso
centrado X t λt : t 0 es una martingala. En efecto, este nuevo proceso

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