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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 204 — #210
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204 7. Martingalas

Las martingalas tienen una interpretaci´on sencilla en t´erminos de juegos
justos que ya hemos mencionado antes: si X n denota el capital de un jugador
al tiempo n,entonces la igualdad (7.1) establece que la fortuna promedio al
tiempo futuro m,dado que se conoce la historia del juego hasta eltiempo
n,es su capital al tiempo n,es decir,el juego es justo pues en promedio el
jugador no pierde ni gana. En este sentido, la desigualdad E X m F n
X n ,correspondiente a la definici´on de submartingala,equivale a un juego
favorable al jugador. La desigualdad contraria, el caso de submartingala,
corresponde a un juego desfavorable al jugador. Puede comprobarse que la
condici´on (7.1) es equivalente a la igualdad aparentementem´as d´ebil

E X n 1 F n X n .
Esta ´ultima condici´on es la que a menudo usaremos para verificar la pro-
piedad de martingala de un proceso a tiempo discreto. Adem´as, cuando la
filtraci´on es la natural, es decir, cuando F n σ X 1 ,... ,X n ,la condici´on
de martingala puede escribirse en la forma

E X n 1 X 1 ,... ,X n X n .
Observe que toda martingala es al mismo tiempo una submartingala y una
supermartingala, y que si X n : n 1 es una submartingala, entonces
X n : n 1 es una supermartingala. Por lo tanto, toda propiedad para
submartingalas puede ser escrita tambi´en para supermartingalas bajo este
cambio de signo. Por otro lado, tomando esperanza en (7.1) con n 1se
obtiene la igualdad

E X m E X 1 , para cada m 1,

esto quiere decir que todas las variables aleatorias que conforman una mar-
tingala tienen la misma esperanza. An´alogamente, tomando esperanza ahora
en la condici´on de submartingala se obtiene que para cualesquiera tiempos
1 n m,
E X m E X n , (7.2)
esto puede interpretarse en el sentido de que las submartingalas son procesos
cuyas trayectorias, en promedio, tienden a crecer. M´as adelante demostrare-
mos que cuando la submartingala es acotada superiormente, esconvergente.
Este interesante resultado es el an´alogo estoc´astico al hecho de que toda

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