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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 202 — #208
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202 7. Martingalas

7.2. Tiempos de paro

Sea X n : n 1 un proceso adaptado a una filtraci´on F n n 1 .Un tiempo
de paro es una variable aleatoria con valores en el espacio parametral de
este proceso, que registra el tiempo en el que ocurre un ciertoeventodel
proceso de tal forma que puede determinarse si ha ocurrido o nohaocurrido
tal evento al tiempo n con la informaci´on de la σ-´algebra F n .Esta variable
aleatoria puede tomar el valor infinito cuando el evento de inter´es nunca
ocurre.

Definici´on 7.4 Una variable aleatoria τ con valores en 1, 2,... es
un tiempo de paro respecto de una filtraci´on F n n 1 si para cada n 1 se
cumple que τ n F n .

Bajo la interpretaci´on de que τ es un tiempo aleatorio en el cual ocurre
un cierto evento de inter´es, la condici´on τ n F n puede interpretarse
del siguiente modo: la pregunta de si el evento de inter´es ha ocurrido al
tiempo n oantes, debe poder ser respondida con lainformaci´on dada por la
filtraci´on al tiempo n.No es dif´ıcil comprobar que la condici´on que aparece
en la definici´on es equivalente a la condici´on τ n F n ,para cada n 1.

Ejemplo 7.2 (Tiempo de primer arribo) Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on
de variables aleatorias adaptada a la filtraci´on F n n 1 .Sea A un conjunto
de Borel de R,y defina

τ m´ın n 1: X n A ,
en donde conviene definir m´ın .Es decir, τ es el primer momento
en el que la sucesi´on toma un valor dentro del conjunto A,si acaso ello
sucede. La variable aleatoria τ es un tiempo de paro, pues para cualquier
valor entero de n,
τ n X 1 A X n 1 A X n A F n .

En particular, y recordando el problema de la ruina del jugador, tomando
A como el conjunto 0,N ,el primer momento en el que la variable X n
ξ 1 ξ n toma uno de los dos valores del conjunto A es un tiempo de
paro, y es el tiempo aleatorio en el cual el juego finaliza, ya sea porque el
jugador se arruina o porque gana todo el capital.

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