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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 80 — #86
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80 1. Probabilidad elemental

Teorema 1.1 (Teorema de probabilidad total)
Sea B 1 ,... ,B n una partici´on de Ω tal que PpB i q‰ 0, i “ 1,... ,n. Para
cualquier evento A,
n
ÿ
PpAq“ PpA | B i qPpB i q.
i“1

Demostraci´on. Cualquier evento A admite la descomposici´on disjunta
´ n n
ď ¯ ď
A “ A X Ω “ A X B i “ pA X B i q.
i“1 i“1
De donde se obtiene
n n
ÿ ÿ
PpAq“ PpA X B i q“ PpA | B i qPpB i q.
i“1 i“1
‚

Cuando la partici´on del espacio muestral consta de ´unicamente los elementos
c
B y B , la f´ormula del teorema de probabilidad total se reduce a la expresi´on
c
c
PpAq“ PpA | Bq PpBq` PpA | B q PpB q.
En el Ejercicio 158 extenderemos ligeramente el teorema de probabilidad
total al caso cuando la partici´on del espacio muestral consta de un n´umero
infinito numerable de elementos. La expresi´on es an´aloga,
8
ÿ
PpAq“ PpA | B i qPpB i q.
i“1
A continuaci´on se ver´an algunos ejemplos de aplicaci´on de la f´ormula de pro-
babilidad total. En la secci´on de ejercicios se ilustran algunas situaciones en
donde puede aplicarse esta f´ormula. M´as adelante encontraremos problemas
para los cuales no es evidente la forma de encontrar la probabilidad de un
cierto evento, pero condicionando adecuadamente, como aparece en el enun-
ciado del teorema de probabilidad total, en ocasiones se puede encontrar de
manera m´as f´acil la probabilidad buscada.

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