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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 81 — #87
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1.14 Teorema de probabilidad total 81

Ejemplo 1.23 Suponga que tenemos dos cajas: una con 3 bolas blancas
y 7 bolas de color gris, la otra con 6 blancas y 6 grises. Esta situaci´on se
ilustra en la Figura 1.29 . Si se elije una caja al azar y despu´es se saca una
bola al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que sea blanca?

Caja 1 Caja 2

Figura 1.29

Soluci´on. El experimento aleatorio consiste en escoger una caja al azar, con
id´entica probabilidad cada una de ellas, y despu´es escoger una bola de la
caja escogida. Es claro que el espacio muestral puede escribirse como sigue:

Ω “tpC 1 ,Bq, pC 1 ,Gq, pC 2 ,Bq, pC 2 ,Gqu,

en donde C 1 y C 2 denotan los eventos en donde las cajas uno y dos fueron
escogidas, respectivamente, y B y G denotan los eventos en donde una
bola blanca o gris fueron escogidas, respectivamente. Nos piden calcular la
probabilidad de B. Observe que es f´acil calcular la probabilidad de este
evento cuando se conoce la caja que fue escogida. Esto sugiere condicionar
sobre el resultado de escoger alguna de las dos cajas y aplicar el teorema de
probabilidad total, es decir,

PpBq“ PpB | C 1 qPpC 1 q` PpB | C 2 qPpC 2 q
“p3{10qp1{2q` p6{12qp1{2q
“ 2{5.

Observe adem´as que la partici´on del espacio muestral consta de dos elemen-
tos: tpC 1 ,Bq, pC 1 ,Gqu y tpC 2 ,Bq, pC 2 ,Gqu. Como un ejercicio equivalente
¿puede usted comprobar que PpGq“ 3{5? Uno puede tambi´en preguntar-
se por situaciones aparentemente extra˜nas como la siguiente: si se obtuvo

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