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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 77 — #83
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1.13 Probabilidad condicional 77

109. Sean A y B eventos independientes, ambos con probabilidad estricta-
mente positiva. Demuestre que para cualquier evento C,

c
c
PpC | Aq“ PpBqPpC | A X Bq` PpB qPpC | A X B q.
110. Sean B 1 ,... ,B n eventos ajenos dos a dos, cada uno con probabilidad
estrictamente positiva y sea A un evento tal que PpA | B i q“ p para
i “ 1,... ,n.Demuestre que

n
ď
PpA | B i q“ p.
i“1

111. Regla del producto. Sean A 1 ,... ,A n eventos tales que
PpA 1 X¨ ¨ ¨ X A n´1 q ą 0.

Demuestre que

PpA 1 X¨ ¨ ¨ X A n q“ PpA 1 q PpA 2 | A 1 q PpA 3 | A 1 X A 2 q
¨¨¨ PpA n | A 1 X¨ ¨ ¨ X A n´1 q.

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112. La urna de Polya . En una urna se tienen r bolas rojas y b bolas
blancas. Un ensayo consiste en tomar una bola al azar y regresarla a
la urna junto con k bolas del mismo color. V´ease la Figura 1.27. Se
repite este ensayo varias veces y se define el evento R n como aquel en
el que se obtiene una bola roja en la n-´esima extracci´on. Demuestre
que para cada n “ 1, 2,...
r
a) PpR n q“ .
r ` b
n´1 ˆ ˙
ź r ` kc
b) PpR 1 X¨ ¨ ¨ X R n q“ .
r ` b ` kc
k“0
113. El problema de la ruina del jugador. Dos jugadores, A y B,
lanzan sucesivamente una moneda. En cada lanzamiento, si la moneda
cae cara, el jugador B le entrega una unidad monetaria al jugador
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George Polya (1887-1985), matem´atico h´ungaro.

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