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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 78 — #84
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78 1. Probabilidad elemental

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` ¨¨¨ k
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Figura 1.27

A, en caso contrario, si la moneda cae cruz, el jugador A le paga
una unidad monetaria al jugador B. El juego contin´ua hasta que uno
de ellos se arruina. Suponga que los lanzamientos de la moneda son
independientes, que en cada uno de ellos la probabilidad de obtener
cara es p y que el jugador A inicia con n unidades monetarias y B
inicia con N ´n unidades monetarias. Defina el evento E n como aquel
en el que el jugador A gana eventualmente todo el dinero cuando
comienza con n unidades monetarias y sea q “ 1 ´ p.Demuestreque
la probabilidad PpE n q, denotada por p n , satisface la siguiente ecuaci´on
en diferencias con las condiciones de frontera especificadas.

q
pp n`1 ´ p n q“ pp n ´ p n´1 q, n “ 1, 2,... ,N ´ 1,
p
p 0 “ 0,

p N “ 1.
Verifique adem´as que la soluci´on a este sistema de ecuacioneses

& n{N si p “ 1{2,
$
n
p n “ 1 ´pq{pq
si p ‰ 1{2.
% N
1 ´pq{pq

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