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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 74 — #80
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74 1. Probabilidad elemental
Ejemplo 1.22 Considere el experimento de lanzar un dado equilibrado y
defina los eventos
A “t2u“ “Se obtiene el n´umero 2”,
B “t2, 4, 6u“ “Se obtiene un n´umero par”.
Es claro que PpAq“ 1{6, sin embargo, sabiendo que B ha ocurrido, es decir,
sabiendo que el resultado es un n´umero par, la probabilidad del evento A
es ahora
PpA X Bq Ppt2uq 1{6 1
PpA | Bq“ “ “ “ .
PpBq Ppt2, 4, 6uq 3{6 3
Es decir, la informaci´on adicional de la ocurrencia del evento B ha hecho
que la probabilidad de A se incremente de 1{6a1{3. ‚
Es interesante comprobar que la probabilidad condicional PpA | Bq,vista
como una funci´on del evento A, cumple los tres axiomas de Kolmogorov, es
decir, satisface:
a) PpΩ | Bq“ 1.
b) PpA | Bq ě 0.
c) PpA 1 Y A 2 | Bq“ PpA 1 | Bq` PpA 2 | Bq cuando A 1 X A 2 “H.
En consecuencia, la funci´on A ÞÑ PpA | Bq es una medida de probabilidad
y por lo tanto cumple todos los resultados conocidos para cualquier medida
de probabilidad, por ejemplo:
1. PpH | Bq“ 0.
c
2. PpA | Bq“ 1 ´ PpA | Bq.
3. PpA 1 Y A 2 | Bq“ PpA 1 | Bq` PpA 2 | Bq´ PpA 1 X A 2 | Bq.
En la secci´on de ejercicios se encuentran algunas otras propiedades generales
de la probabilidad condicional y en las siguientes secciones se ver´an dos
ejemplos importantes de aplicaci´on de esta nueva probabilidad: el teorema
de probabilidad total y el teorema de Bayes.
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