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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 70 — #76
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70 1. Probabilidad elemental

en donde la suma se realiza sobre todos los posibles n´umeros enteros
k 1 ,... ,k m tales que 0 ď k i ď n, para i “ 1,... ,m,y

k 1 `¨ ¨ ¨ ` k m “ n.

86. ¿Cu´antos sumandos aparecen en la f´ormula (1.2)? Es decir, ¿cu´antos
distintos vectores existen de la forma pk 1 ,... ,k m q, en donde cada en-
trada es un n´umero entero mayor o igual a cero y la suma de todos
ellos es n?

87. Sea f : R n Ñ R una funci´on de n variables que es infinitamente
diferenciable, es decir, tiene derivadas de todos los ´ordenes. ¿Cu´antas
derivadas parciales hay de orden m?

88. Sea n ě 2 un n´umero natural fijo. Determine la cantidad de parejas
px, yq que existen de n´umeros naturales x y y tales que

1 ď x ď y ď n.

89. Sean k y n dos n´umeros naturales tales que 1 ď k ď n. Determine
la cantidad de parejas de n´umeros naturales px, yq que existen de tal
forma que
1 ď x, y ď n y |x ´ y| ě k.

90. Sean k y n dos n´umeros naturales tales que 1 ď k ď n.Determinela
cantidad de vectores que existen de la forma px 1 ,... ,x k q de tal manera
que cada entrada de este vector es un n´umero entero x i que satisface
1 ď x i ď n y adem´as cumplen la condici´on

a)1 ď x 1 ă ¨¨¨ ă x k ď n.
b)1 ď x 1 ď ¨¨¨ ď x k ď n.

91. Sean k, n ě 1 dos n´umeros enteros fijos. ¿Cu´antas soluciones enteras
no negativas tiene la ecuaci´on

a) x 1 ` x 2 `¨ ¨ ¨ ` x k “ n?
b) x 1 ` x 2 `¨ ¨ ¨ ` x k ď n?
c) x 1 ` x 2 `¨ ¨ ¨ ` x k ě n?

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