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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 69 — #75
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1.12 An´ alisis combinatorio 69

a 1 b 1
a 2 f b 2
. . . . . .
a n b m

A B

Figura 1.25

83. Sean k, n, m n´umeros naturales tales que k ď n ` m.Demuestreque
n m n ` m
ˆ ˙ˆ ˙ ˆ ˙
ÿ
“ ,
i j k
i,j
en donde la suma se efect´ua sobre valores enteros de i y j tales que
0 ď i ď n,0 ď j ď m e i ` j “ k.
84. Tri´angulo de Pascal. Sean k y n n´umeros naturales tales que k ă n.
Demuestre que
n n ´ 1 n ´ 1
ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙
“ ` .
k k ´ 1 k
A partir de esta f´ormula se construye el tri´angulo de Pascal. M´as
generalmente, demuestre que
ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙
n n ´ 1 n ´ 1
“ `
k 1 k 2 ¨¨¨ k m k 1 ´ 1 k 2 ¨¨¨ k m k 1 k 2 ´ 1 ¨¨¨ k m
n ´ 1
ˆ ˙
`¨¨¨ ` ,
k 1 k 2 ¨¨¨ k m ´ 1
en donde
ˆ ˙
n n!
“ .
k 1 k 2 ¨¨¨ k m k 1 ! k 2 ! ¨¨¨ k m !
85. Teorema del multinomio. Sean n y m dos n´umeros enteros positivos
ysean x 1 ,... ,x m n´umeros reales cualesquiera. Demuestre que
ˆ ˙
n ÿ n k 1 k m
px 1 `¨ ¨ ¨ ` x m q “ x ¨¨¨ x , (1.2)
1 m
k 1 k 2 ¨¨¨ k m

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