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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 64 — #70
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64 1. Probabilidad elemental

se le conoce como el teorema del multinomio. Por ejemplo, compruebe el
lector que la f´ormula (1.1) produce la siguiente expresi´on

2 2 2 2
pa ` b ` cq “ a ` b ` c ` 2ab ` 2ac ` 2bc
ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙
2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2
“ a b c ` a b c ` a b c
200 020 002
2 1 1 0 2 1 0 1 2 0 1 1
ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙
` a b c ` a b c ` a b c .
110 101 011
3
¿Puede usted desarrollar pa ` b ` cq ? Es interesante observar que cuando
hay ´unicamente dos tipos de objetos, el coeficiente multinomial se reduce
al coeficiente binomial y la notaci´on tambi´en se reduce a la antes usada, es
decir,
ˆ ˙ ˆ ˙
n n
“ .
k pn ´ kq k

Muestras sin orden y con reemplazo
Finalmente, consideremos el caso de hacer k extracciones de una urna de
n objetos con las condiciones de que cada objeto extraido es regresado a
la urna (y entonces puede ser elegido nuevamente), y en donde el orden
de la muestra no es relevante. Para encontrar una f´ormula para el total
de muestras que pueden obtenerse con estas caracter´ısticas, usaremos una
modelaci´on distinta pero equivalente.

ˆˆ ˆ ˆ ¨¨¨ ˆ
1 2 3 4 ¨¨¨ n ´ 1 n

Figura 1.21

Consideremos el arreglo de n casillas de la Figura 1.21 junto con la siguiente
interpretaci´on: la primera casilla tiene dos cruces, y eso indica que la bola
uno fue seleccionada dos veces, la segunda casilla esta vac´ıa, y ello significa
que la bola dos no fue seleccionada, etc. El n´umero de cruces en la casilla i
indica entonces el n´umero de veces que la bola i fue seleccionada. En total

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