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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 63 — #69
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1.12 An´ alisis combinatorio 63

Coeficiente multinomial

Ahora consideremos que tenemos n objetos no necesariamente distintos unos
de otros, por ejemplo, supongamos que tenemos k 1 objetos de un primer
tipo, k 2 objetos de un segundo tipo, y as´ı sucesivamente, hasta k m objetos
del tipo m, en donde k 1 ` k 2 `¨ ¨ ¨` k m “ n. Estos n objetos pueden todos
ordenarse uno detr´as de otro de tantas formas distintas como indica el as´ı
llamado coeficiente multinomial

ˆ ˙
n n!
“ .
k 1 k 2 ¨¨¨ k m k 1 ! k 2 ! ¨¨¨ k m !
Un razonamiento para obtener esta f´ormula es el siguiente: si consideramos
que los n objetos son todos diferentes, entonces claramente las distintas for-
mas en que pueden colocarse todos estos objetos, uno detr´as de otro, es n!
Pero para cada uno de estos arreglos, los k 1 objetos del primer tipo, supues-
tos inicialmente distintos cuando en realidad no lo son, pueden permutarse
entre s´ı de k 1 ! formas diferentes, siendo que el arreglo total es el mismo.
De aqu´ı que debamos dividir por k 1 ! Lo mismo sucede con los elementos
del segundo tipo, y as´ı sucesivamente hasta los elementos del tipo m.En
el siguiente ejemplo se muestra una situaci´on sencilla en donde se aplica la
f´ormula anterior.

Ejemplo 1.21 ¿Cu´antas palabras distintas se pueden formar permutando
las letras de la palabra “mam´a”? (Considere que el acento no es relevante.)

4
Soluci´on. Existen ` ˘ “ 6 palabras distintas y ´estas son:
22
mama amma mmaa
maam amam aamm.

‚

El teorema del binomio se puede extender a la siguiente f´ormula, en donde
aparece el coeficiente multinomial.
ˆ ˙
n ÿ n k 1 k 2
pa 1 ` a 2 `¨ ¨ ¨ ` a m q “ a a ¨¨¨ a k m , (1.1)
1 2 m
k 1 ¨¨¨ k m
en donde la suma se efect´ua sobre todos los posibles valores enteros no
negativos de k 1 ,k 2 ,... ,k m , tales que k 1 `k 2 `¨ ¨ ¨`k m “ n. A este resultado

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