Page 71 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 61 — #67
✐ ✐

1.12 An´ alisis combinatorio 61

Combinaciones: muestras sin orden y sin reemplazo

Supongamos nuevamente que tenemos un conjunto de n objetos distingui-
bles y nos interesa obtener una muestra de tama˜no k. Supongamos ahora
que las muestras deben ser sin orden y sin reemplazo. Es decir,en lamues-
tra no debe haber elementos repetidos, pues no hay reemplazo, y adem´as
la muestra debe verse como un conjunto pues no debe haber ordenen-
tre sus elementos. ¿Cu´antas diferentes muestras podemos obtener de estas
caracter´ısticas? Para responder a esta pregunta, seguiremos el siguiente ra-
zonamiento: cuando el orden importa, hemos encontrado antes la f´ormula

n!
.
pn ´ kq!

Ahora que no nos interesa el orden, observamos que cada uno de los arreglos
de la f´ormula anterior, est´a siendo contado k!veces, el n´umero deveces en
que los mismos k elementos pueden ser permutados unos con otros, siendo
que el conjunto de elementos es el mismo. Para obtener arreglos en donde
el orden no importa, debemos entonces dividir por k! La f´ormula a la que
hemos llegado se llama combinaciones de n en k y la denotaremos como
sigue
ˆ ˙
n n!
“ .
k k! pn ´ kq!
A este n´umero tambi´en se le conoce con el nombre de coeficiente binomial
de n en k, pues aparece en el famoso teorema del binomio: para cualesquiera
n´umeros reales a y b, y para cualquier n´umero entero n ě 0,

n ˆ ˙
n ÿ n n´k k
pa ` bq “ a b .
k
k“0
Para los casos n “ 2y n “ 3, el teorema del binomio se reduce a las siguien-
tes f´ormulas, que muy seguramente el lector conoce:

2
2
1. pa ` bq “ a ` 2ab ` b 2
ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙
2 2 2
2 0
0 2
1 1
“ a b ` a b ` a b .
0 1 2

✐ ✐

✐ ✐