Page 69 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 59 — #65
✐ ✐

1.12 An´ alisis combinatorio 59

objeto puede ser extraido varias veces. El total de arreglos que se pueden
obtener de esta urna al hacer k extracciones de estas caracter´ısticas es el
k
n´umero n , pues en cada extracci´on tenemos n objetos posibles para escoger
y efectuamos k extracciones. Esta f´ormula es consecuencia del principio de
multiplicaci´on enunciado antes. A este n´umero se le llama ordenaciones con
repetici´on. Se dice que la muestra es con orden pues es importante el orden
en el que se van obteniendo los objetos, y es con reemplazo pues cada objeto
seleccionado se reincorpora a la urna.

Ejemplo 1.17 Suponga que tenemos un conjunto de 60 caracteres dife-
rentes. Este conjunto contiene algunas letras min´usculas del alfabeto, sus
correspondientes letras may´usculas y los diez d´ıgitos. ¿Cu´antos passwords o
palabras clave de longitud 4 se pueden construir usando este conjunto de 60
caracteres? Este es un ejemplo de una ordenaci´on de 60 caracteres en donde
se permiten las repeticiones. Como cada caracter de los 60 disponibles puede
ser escogido para ser colocado en cada una de las cuatro posiciones de la
4
palabra clave, se pueden construir 60 ˆ 60 ˆ 60 ˆ 60 “ 60 “ 12, 960, 000
passwords distintos de longitud 4. ‚

Ordenaciones sin repetici´on: muestras con orden y sin reemplazo
Suponga que se tiene la misma situaci´on que antes: una urna con n objetos
y de los cuales se deben extraer, uno a uno, k objetos. Suponga esta vez que
la selecci´on es sin reemplazo, es decir, una vez seleccionado un objeto, ´este
ya no se reincorpora a la urna. El total de arreglos distintos que se pueden
obtener de este modo es el n´umero

npn ´ 1qpn ´ 2q¨ ¨ ¨pn ´ k ` 1q.

Primeramente debemos observar que hay k factores en la expresi´on ante-
rior. El primer factor es n y ello es debido a que tenemos cualquiera de los n
objetos para ser colocado en la primera posici´on, para la segunda posici´on
tenemos ahora n ´ 1 objetos, para la tercera n ´ 2 objetos, y as´ı sucesi-
vamente. Este razonamiento termina al escoger el k-´esimo objeto, para el
cual tenemos ´unicamente n ´ k ` 1 posibilidades. Nuevamente, por el prin-
cipio de multiplicaci´on, la respuesta es el producto indicado. La expresi´on

✐ ✐

✐ ✐