Page 67 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 57 — #63
✐ ✐

1.12 An´ alisis combinatorio 57

Para poder aplicar esta definici´on, necesitamos saber contar cu´antos ele-
mentos tiene un evento A cualquiera. Cuando podemos poner en una lista
todos y cada uno de los elementos de dicho conjunto, es f´acil conocer la
cardinalidad de A: simplemente contamos todos los elementos uno por uno.
Sin embargo, es com´un enfrentar situaciones en donde no es factible escribir
en una lista cada elemento de A, por ejemplo, ¿cu´antos n´umeros telef´onicos
existen que contengan por lo menos un cinco? Es poco factible que alguien
intente escribir uno a uno todos estos n´umeros telef´onicosy encuentre de
esta manera la cantidad buscada. En las siguientes secciones estudiaremos
algunas t´ecnicas de conteo que nos ayudar´an a calcular la cardinalidad de
un evento A en ciertos casos particulares. El principio de multiplicaci´on que
se presenta a continuaci´on es la base de muchos de los c´alculos en las t´ecni-
cas de conteo, y ya hab´ıamos hecho menci´on de ´el en la p´agina 15 cuando
se defini´o el producto cartesiano de conjuntos.

Proposici´on 1.9 (Principio de multiplicaci´on) Si un procedimien-
to A 1 puede efectuarse de n formas distintas y un segundo procedimiento
A 2 puede realizarse de m formas diferentes, entonces el total de formas
en que puede efectuarse el primer procedimiento, seguido del segundo,
es el producto n ¨ m,es decir,

#pA 1 ˆ A 2 q“ #A 1 ¨ #A 2 .

Para ilustrar este resultado considere el siguiente ejemplo: suponga que un
cierto experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y despu´es seleccionar
al azar una letra del alfabeto. ¿Cu´al es la cardinalidad del correspondien-
te espacio muestral? El experimento de lanzar un dado tiene 6 resultados
posibles y consideremos que tenemos un alfabeto de 26 letras. El correspon-
diente espacio muestral tiene entonces cardinalidad 6 ˆ 26 “ 156.

El principio de multiplicaci´on es v´alido no solamente para dos procedimien-
tos, sino que tambi´en vale para cualquier sucesi´on finita de procedimientos.
Por ejemplo, si A 1 ,A 2 ,... ,A k denotan k procedimientos sucesivos, entonces

✐ ✐

✐ ✐