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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 52 — #58
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52 1. Probabilidad elemental

ejemplo, no es cerrada bajo la operaci´on de tomar complementos. La σ-´alge-
bra de Borel de R se puede construir a partir de esta colecci´on considerando
la σ-´algebra m´as peque˜na de subconjuntos de R que contiene a la colecci´on
C .

Definici´on 1.8 La σ-´algebra de Borel de R se denota por BpRq yse
define como la m´ınima σ-´algebra de subconjuntos de R que contiene a
todos los intervalos de la forma p´8,xs. Esto se escribe de la manera
siguiente
BpRq :“ σt p´8,xs : x P R u.
A los elementos de BpRq se les llama conjuntos de Borel, conjuntos
Borel medibles o simplemente borelianos de R.

El s´ımbolo σ en la expresi´on anterior significa que se est´a tomando la m´ınima
σ-´algebra generada por la colecci´on t p´8,xs : x P R u, y el adjetivo m´ınimo
significa que si F es una σ-´algebra que contiene a la colecci´on C , entonces
BpRq Ď F,es decir, BpRq es la m´as peque˜na. Existen otras formas equiva-
lentes de definir a BpRq, pero la que hemos presentado es suficiente para los
prop´ositos de este texto. Es interesante mencionar tambi´en que el concepto
n
de σ-´algebra de Borel puede extenderse a R y aun a espacios m´as generales.
Para entender mejor a la σ-´algebra de Borel de R, mostraremos a continua-
ci´on algunos otros elementos que pertenecen a esta colecci´on de subconjun-
tos de R. Expresaremos a estos elementos como el resultado de operaciones
de elementos que sabemos que pertenecen a BpRq y en donde las operaciones
son aquellas bajo las cuales toda σ-´algebra es cerrada, seg´un la definici´on.
En la siguiente tabla, x y y son cualesquiera n´umeros reales tales que x ď y.

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