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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 51 — #57
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1.10 Sigma ´ algebra de Borel 51

ci´on tA, Bu para convertirla en la m´ınima σ-´algebra de subconjuntos
de Ω que contiene a A ya B?

62. Demuestre que toda σ-´algebra es ´algebra. Mediante un contraejemplo
demuestre que el rec´ıproco es falso, es decir, no toda ´algebra es una
σ-´algebra. V´ease la Figura 1.18. Compare este resultado general con
el que se presenta en el siguiente ejercicio.

63. Sea Ω un espacio muestral finito. Demuestre que toda ´algebra de sub-
conjuntos de Ω es tambi´en una σ-´algebra.

64. Sean F 1 y F 2 dos σ-´algebras de subconjuntos de Ω.

a) Escriba la definici´on de F 1 X F 2 .
b)Demuestre que F 1 X F 2 es una σ-´algebra.

c) Mediante un contraejemplo demuestre que F 1 Y F 2 no necesa-
riamente es una σ-´algebra.

65. En un juego de tiro al blanco se pueden obtener 0 puntos, 1 punto,
2 puntos o 3 puntos. Defina el evento A n como aquel en el que se
obtienen n puntos al efectuar un tiro al blanco. Claramente los eventos
A 0 ,A 1 ,A 2 y A 3 son ajenos dos a dos y constituyen una partici´on
del espacio muestral de este experimento aleatorio. Encuentre una σ-
´ algebra que contenga a estos cuatro eventos simples.

1.10. Sigma ´algebra de Borel

En esta secci´on estudiaremos brevemente un ejemplo de σ-´algebra que nos
ser´a de utilidad. Tomaremos como espacio muestral el conjunto de n´umeros
reales R y consideraremos la colecci´on de intervalos de la forma p´8,xs
para cualquier n´umero real x,esdecir,sea

C “ t p´8,xs : x P R u.

Esta colecci´on contiene un n´umero infinito no numerable de elementos, pero
es claro que no constituye una σ-´algebra de subconjuntos de R pues, por

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