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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 49 — #55
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1.9 Sigmas ´ algebras 49

tercera condici´on es tambi´en v´alida para sucesiones infinitas de eventos, a
la correspondiente colecci´on de subconjuntos de Ω se le llama σ-´algebra (se
lee sigma ´algebra), en donde el prefijo σ se refiere a la operaci´on infinita
involucrada. La definici´on es entonces muy parecida a la anterior.

Definici´on 1.7 Una colecci´on F de subconjuntos de un espacio mues-
tral Ω es una σ-´algebra si cumple las tres condiciones siguientes:

1. Ω P F.
c
2. Si A P F entonces A P F.
8
ď
3. Si A 1 ,A 2 ,... P F entonces A k P F .
k“1
A los elementos de F se les llama eventos.

De esta manera, una σ-´algebra es una colecci´on de subconjuntos del espacio
muestral, v´ease la Figura 1.17, que es no vac´ıa, es cerrada bajo complemen-
tos y es cerrada tambi´en bajo uniones numerables. A partir de ahora no
llamaremos evento a cualquier subconjunto del espacio muestral, sino ´uni-
camente a aquellos elementos que pertenezcan a una σ-´algebra asociada al
espacio muestral. En el siguiente ejemplo se ilustra el hechodeque pueden
existir varias σ-´algebras asociadas a un mismo espacio muestral, aunque en
nuestro caso s´olo trabajaremos con una sola σ-´algebra de eventos a la vez
y, con frecuencia, no la especificaremos con detalle. En la Figura 1.18 se
muestra la relaci´on existente entre ´algebra y σ-´algebra de un mismo espacio
muestral: toda σ-´algebra es una ´algebra. Al respecto v´eanse los Ejercicios 62
y 63 en la p´agina 51. En la siguiente secci´on estudiaremos unejemplo de
σ-´algebra de cierta importancia: la σ-´algebra de Borel de subconjuntos de
R.

Ejemplo 1.15 Sea Ω el espacio muestral de un experimento aleatorio. No
es dif´ıcil comprobar que las siguientes colecciones de subconjuntos de Ω son
σ-´algebras:
a) F “t H, Ω u.

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