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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 42 — #48
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42 1. Probabilidad elemental

Ejemplo 1.14 Sean A y B eventos ajenos tales que PpBq“ 0.3y PpA X
c
B q“ 0.2. Encuentre PpA Y Bq.
Soluci´on. Usaremos la f´ormula PpA Y Bq“ PpAq` PpBq´ PpA X Bq,
en donde conocemos a PpBq; PpA X Bq es cero pues, por hip´otesis, los
c
eventos son ajenos, y PpAq“ PpA X B q“ 0.2 . ¿Por qu´e? Por lo tanto,
PpA Y Bq“ 0.2 ` 0.3 “ 0.5. ‚

Como hemos se˜nalado, la f´ormula anterior para la probabilidad de la uni´on
de dos eventos es v´alida para cualesquiera que sean estos eventos, sin em-
bargo, cuando los eventos son ajenos, es decir, cuando AXB “H, entonces
la f´ormula demostrada se reduce al tercer axioma de la probabilidad en su
versi´on para dos eventos ajenos, es decir,

PpA Y Bq“ PpAq` PpBq.

El siguiente resultado es una extensi´on natural de estas f´ormulas e invo-
lucra tres eventos arbitrarios. La f´ormula que a continuaci´on se demuestra
puede tambi´en verificarse usando el diagrama de Venn que aparece en la
Fig 1.16 (b). Para ello se pueden seguir uno a uno los t´erminos del lado
derecho de la f´ormula y comprobar que cada regi´on es contada una sola vez,
de modo que el resultado final es la probabilidad del evento A Y B Y C.La
as´ı llamada f´ormula de inclusi´on y exclusi´on, que aparece en el Ejercicio 55,
en la p´agina 46, es una generalizaci´on de este resultado.

Proposici´on 1.8 Para cualesquiera eventos A, B y C,

PpA Y B Y Cq“ PpAq` PpBq` PpCq
´PpA X Bq´ PpA X Cq´ PpB X Cq
`PpA X B X Cq.

Demostraci´on. Agrupando adecuadamente y usando la f´ormula para dos

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