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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 40 — #46
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40 1. Probabilidad elemental

Usando el primer axioma concluimos que PpBq´ PpAq“ PpB ´ Aq ě 0.
De aqu´ı obtenemos PpBq´ PpAq ě 0. ‚

Proposici´on 1.5 Si A Ď B entonces PpB ´ Aq“ PpBq´ PpAq.

Demostraci´on. Como B “ A YpB ´ Aq, siendo esta uni´on ajena, por el
tercer axioma tenemos que PpBq“ PpAq` PpB ´ Aq. ‚
c
Por ejemplo, suponga que A y B son eventos tales que A Ď B, PpA q“ 0.9
c
y PpB q“ 0.6 . Deseamos calcular PpB ´ Aq. En esta situaci´on es v´alida
la f´ormula PpB ´ Aq“ PpBq´ PpAq, en donde PpAq“ 0.1y PpBq“ 0.4.
Por lo tanto, PpB ´ Aq“ 0.4 ´ 0.1 “ 0.3. Observe que en este ejemplo
sencillo no se especifica el experimento aleatorio en cuesti´on ni tampoco se
definen expl´ıcitamente a los eventos A y B. El tratamiento es completamente
anal´ıtico y los resultados son v´alidos para cualesquiera eventos A y B con
las caracter´ısticas se˜naladas.

Proposici´on 1.6 Para cualquier evento A,0 ď PpAq ď 1.

Demostraci´on. Como A Ď Ω,se tiene que PpAq ď PpΩq“ 1. La primera
desigualdad, 0 ď PpAq, es simplemente el primer axioma. ‚
En palabras, la proposici´on anterior establece que la medida de probabilidad
es una funci´on que toma valores ´unicamente en el intervalo r0, 1s,yello ha
sido consecuencia de los axiomas establecidos. El siguiente resultado propor-
ciona una f´ormula general para la probabilidad de la uni´on de cualesquiera
dos eventos, no necesariamente ajenos.

Proposici´on 1.7 Para cualesquiera eventos A y B,

PpA Y Bq“ PpAq` PpBq´ PpA X Bq.

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