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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 37 — #43
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1.8 Probabilidad axiom´ atica 37

tiene que n AYB “ n A ` n B y por lo tanto

n AYB n A n B
“ ` ,
n n n
lo cual puede extenderse para una colecci´on numerable de eventos ajenos dos
a dos y de esta manera obtener el tercer axioma, suponiendo la existencia
de los l´ımites correspondientes. De manera semejante puede verificarse el
cumplimiento de estos axiomas para las definiciones cl´asica y geom´etrica de
la probabilidad que hemos estudiado en las secciones anteriores. ‚

Tenemos a continuaci´on la definici´on axiom´atica de la probabilidad.

Definici´on 1.5 A cualquier funci´on P definida sobre una colecci´on de
eventos que satisfaga los tres axiomas de Kolmogorov, se le llama medida
de probabilidad o, simplemente, probabilidad.

En esta definici´on no hemos sido muy precisos en establecer el dominio de
la funci´on P, s´olo hemos dicho que tal dominio es una colecci´on de eventos.
En la siguiente secci´on especificaremos con m´as detalle a esta colecci´on, por
ahora nos interesa estudiar las propiedades generales que la funci´on P pueda
tener.

Propiedades de la probabilidad
Tomando como base los axiomas de Kolmogorov y usando la teor´ıa elemental
de conjuntos, demostraremos que toda medida de probabilidad cumple con
una serie de propiedades generales e interesantes.

Proposici´on 1.1 PpHq “ 0.

Demostraci´on. Tomando A 1 “ A 2 “¨ ¨ ¨ “H en el tercer axioma,
tenemos que
PpHq “ PpHq ` PpHq ` ¨ ¨ ¨ .

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