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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 41 — #47
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1.8 Probabilidad axiom´ atica 41

Demostraci´on. Primeramente observamos que para cualesquiera eventos
A y B se cumple la igualdad A ´ B “ A ´pA X Bq, en donde A X B Ď A,
de modo que PpA ´pA X Bqq “ PpAq´ PpA X Bq. Entonces escribimos a
A Y B como la uni´on disjunta de los siguientes tres eventos:

A Y B “pA ´ BqYpA X BqYpB ´ Aq
“pA ´pA X Bqq Y pA X BqYpB ´pA X Bqq.

Ahora aplicamos la probabilidad. Por el tercer axioma,

PpA Y Bq“ PpA ´pA X Bqq ` PpA X Bq` PpB ´pA X Bqq
“ PpAq´ PpA X Bq` PpA X Bq` PpBq´ PpA X Bq
“ PpAq` PpBq´ PpA X Bq.

‚

En la Figura 1.16 (a), el lector puede comprobar la validez de la f´ormula
reci´en demostrada identificando las tres regiones ajenas de las que consta el
evento AYB.Elt´ermino PpAq abarca las primeras dos regiones de izquierda
a derecha, PpBq abarca la segunda y tercera regi´on. Observe entonces que la
regi´on central ha sido contada dos veces de modo que el t´ermino ´PpAXBq
da cuenta de ello. De esta forma, las tres regiones son contadas una sola vez
y el resultado es la probabilidad del evento A Y B.

A B
A B

Ω C Ω
(a) A Y B (b) A Y B Y C

Figura 1.16

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