Page 38 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 28 — #34
✐ ✐

28 1. Probabilidad elemental

aguja ℓ
L

Figura 1.10

a) Suponga ℓ ď L. ¿Cu´al es la probabilidad de que la aguja toque
alguna l´ınea?
Nota. Sea A el evento que ocurre cuando la aguja toca alguna
de las l´ıneas. Puede comprobarse que, en el caso cuando ℓ “ L,
la probabilidad buscada se reduce a PpAq“ 2{π.Si se efect´ua
este experimento n veces y n A denota el n´umero de ocurrencias
del evento A, entonces el cociente n A {n es cercano a PpAq. As´ı,
tenemos la aproximaci´on

2 n A
« ,
π n
de donde puede obtenerse una aproximaci´on para π a partir del
experimento simple de lanzar agujas en una superficie de l´ıneas
paralelas.
2n
π « .
n A
b) Suponga ahora ℓ ě L. Demuestre que la probabilidad de que la
aguja toque alguna l´ınea es
2 L 2ℓ L
PpAq“ 1 ´ arc senp q` p1 ´ cosparc senp qqq.
π ℓ πL ℓ
?
2
Usando la identidad cosparc sen xq“ 1 ´ x , ´1 ď x ď 1, la
respuesta anterior se puede escribir tambi´en como sigue
2ℓ 2 a L
2
2
PpAq“ ´ p ℓ ´ L ` L arc senp qq ` 1.
πL πL ℓ

✐ ✐

✐ ✐