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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 330 — #336
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330 4. Vectores aleatorios

Ejemplo 4.9 Sea pX, Y q un vector aleatorio continuo con funci´on de den-
sidad dada por
#
4xy si 0 ă x, y ă 1,
fpx, yq“
0 en otro caso.
Es sencillo verificar que esta funci´on es, efectivamente, una funci´on de den-
sidad bivariada pues es no negativa e integra uno.

1
ż 8 ż 8 ż ż 1
fpx, yq dxdy “ 4xy dxdy “ 4p1{2qp1{2q“ 1.
´8 ´8 0 0
Calcularemos ahora las funciones de densidad marginales f X pxq y f Y pyq.
Esto debe hacerse para cada valor de x y y en R. Para x Rp0, 1q, fpx, yq“ 0
y por lo tanto f X pxq“ 0. Para x Pp0, 1q,

ż 8 ż 1
f X pxq“ fpx, yq dy “ 4xy dy “ 2x.
´8 0

Por lo tanto,
#
2x si 0 ă x ă 1,
f X pxq“
0 en otro caso.
De manera an´aloga, o por simetr´ıa,

#
2y si 0 ă y ă 1,
f Y pyq“
0 en otro caso.
Esto significa que X y Y tienen la misma distribuci´on. Es inmediato com-
probar que estas funciones son funciones de densidad univariadas. Observe
que en este caso particular se cumple la identidad fpx, yq“ f X pxqf Y pyq,
2
para cualquier px, yq en R . Esto expresa el importante concepto de inde-
pendencia de variables aleatorias que hemos mencionado antes. ‚

La definici´on de funci´on de probabilidad marginal para vectores discretos
involucra una suma en lugar de la integral, por ejemplo,

ÿ
f X pxq“ fpx, yq,
y

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