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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 334 — #340
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334 4. Vectores aleatorios

Definici´on 4.7 Sea pX, Y q un vector aleatorio, continuo o discreto, con
funci´on de distribuci´on Fpx, yq. La funci´on de distribuci´on marginal de
la variable X se define como la funci´on de una variable

F X pxq“ l´ım Fpx, yq.
yÑ8
An´alogamente, la funci´on de distribuci´on marginal de la variable Y se
define como la funci´on

F Y pyq“ l´ım Fpx, yq.
xÑ8

Observemos que los l´ımites anteriores siempre existen pues la funci´on de dis-
tribuci´on conjunta es acotada y no decreciente en cada variable. No es dif´ıcil
comprobar que estas funciones de distribuci´on marginales son, efectivamen-
te, funciones de distribuci´on univariadas. Para un vector de dimensi´on tres
pX, Y, Zq, a partir de F X,Y,Z px, y, zq y tomando los l´ımites necesarios, pueden
obtenerse, por ejemplo, las funciones de distribuci´on marginales F X,Y px, yq,
F X,Z px, zq, F X pxq. En efecto,

F X,Y px, yq“ l´ım Fpx, y, zq,
zÑ8
F X,Z px, zq“ l´ım Fpx, y, zq,
yÑ8
F X pxq“ l´ım l´ım Fpx, y, zq.
yÑ8 zÑ8
M´as generalmente, a partir de la funci´on de distribuci´on de un vector
pX 1 ,... ,X n q se puede obtener, de manera an´aloga, la funci´on de distri-
buci´on de cualquier subvector.

Ahora que conocemos la forma de obtener las funciones de densidad y de
distribuci´on marginales a partir de las correspondientes funciones conjuntas,
podemos enunciar con precisi´on el concepto de independencia entre variables
aleatorias. Veremos en la siguiente secci´on este importante concepto, el cual
resulta ser una hip´otesis recurrente en los procedimientos de la estad´ıstica
matem´atica y otras ´areas de aplicaci´on de la probabilidad.

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