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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 332 — #338
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332 4. Vectores aleatorios

De manera an´aloga se puede obtener la funci´on de densidad marginal de
cualquiera de las variables que componen el vector multidimensional. Y
tambi´en, de manera similar, se pueden calcular estas densidades marginales
de vectores que son subconjuntos del vector original. Por ejemplo, la funci´on
de densidad marginal del vector pX 1 ,X 2 q a partir de pX 1 ,... ,X n q es, en el
caso continuo,

ż 8 ż 8
px 1 ,x 2 q“ ¨¨¨ fpx 1 ,... ,x n q dx 3 ¨¨¨ dx n .
f X 1 ,X 2
´8 ´8
Otro aspecto interesante sobre estas funciones es que puedenexistir dis-
tintas funciones de densidad conjuntas que producen las mismas funciones
de densidad marginales. En el Ejercicio 472 se muestra esta situaci´on. Esto
significa que, por ejemplo, a partir de las funciones de densidad marginales
f X pxq y f Y pyq no es posible, en general, construir de manera ´unica a la fun-
ci´on de densidad conjunta f X,Y px, yq. Sin embargo, si se acepta la hip´otesis
de independencia entre X y Y , ¿qui´en ser´ıa f X,Y px, yq?

Ejercicios

471. Sea pX, Y q un vector aleatorio con funci´on de probabilidad como apa-
rece abajo. En cada caso encuentre las funciones de probabilidad mar-
ginales f X pxq y f Y pyq.

x z y 0 1
a) 0 1{16 5{16

1 4{16 6{16

# ´x
e si 0 ă y ă x,
b) fpx, yq“
0 en otro caso.

#
2 e ´x´y si 0 ă x ă y,
c) fpx, yq“
0 en otro caso.

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