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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 329 — #335
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4.4 Funci´ on de probabilidad marginal 329

470. Sea pX, Y q un vector aleatorio continuo con distribuci´on uniforme en
el cuadrado p´1, 1qˆp´1, 1q.Encuentre

a) F XY puq.
b) f XY puq.

4.4. Funci´on de probabilidad marginal

Dada la funci´on de densidad de un vector aleatorio, se ver´a ahora la forma de
obtener la funci´on de densidad de un subvector del vector aleatorio original.
Veremos primero el caso bidimensional y despu´es extenderemos las ideas al
caso multidimensional discreto y continuo.

Definici´on 4.6 Sea fpx, yq la funci´on de densidad del vector aleatorio
continuo pX, Y q. Se define la funci´on de densidad marginal de la variable
X como la integral
ż 8
f X pxq“ fpx, yq dy.
´8

Es decir, se integra simplemente respecto de la variable y para dejar como
resultado una funci´on que depende ´unicamente de x. Esta funci´on resultante
es la funci´on de densidad marginal de X. De manera completamente an´alo-
ga, la funci´on de densidad marginal de la variable Y se obtiene integrando
ahora respecto de la variable x,es decir,

8
ż
f Y pyq“ fpx, yq dx.
´8

En general, las funciones de probabilidad marginales f X pxq y f Y pyq son
distintas, aunque hay ocasiones en que pueden ser iguales. Es inmediato
verificar que estas funciones son, efectivamente, funciones de densidad uni-
variadas, pues son no negativas e integran uno. Veamos un ejemplo.

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