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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 323 — #329
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4.3 Funci´ on de distribuci´ on conjunta 323

Se enuncian a continuaci´on algunas propiedades que cumple toda funci´on
de distribuci´on conjunta. Omitiremos la demostraci´on de estas propiedades
pues sigue el mismo tipo de ideas que en el caso unidimensional.

Proposici´on 4.1 La funci´on de distribuci´on Fpx, yq de un vector alea-
torio pX, Y q satisface las siguientes propiedades.

1. l´ım l´ım Fpx, yq“ 1.
xÑ8 yÑ8

2. l´ım Fpx, yq“ 0, l´ım Fpx, yq“ 0.
xÑ´8 yÑ´8
3. Fpx, yq es continua por la derecha en cada variable.

4. Fpx, yq es una funci´on mon´otona no decreciente en cada variable.

5. Para cualesquiera n´umeros a ă b,y c ă d, se cumple la desigualdad

Fpb, dq´ Fpa, dq´ Fpb, cq` Fpa, cq ě 0.

Observe que las primeras cuatro propiedades son completamente an´alogas
al caso unidimensional. Por otro lado, puede comprobarse geom´etricamente
que la expresi´on que aparece en la quinta propiedad es id´entica a la proba-
bilidad
Prpa ă X ď bqX pc ă Y ď dqs,
que corresponde a la probabilidad de que el vector pX, Y q tome un valor
dentro del rect´angulo pa, bsˆpc, ds, como se muestra en la Figura 4.10.
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Rec´ıprocamente, se dice que una funci´on Fpx, yq : R Ñr0, 1s es una fun-
ci´on de distribuci´on conjunta o bivariada si satisface las cinco propiedades
anteriores. En el caso continuo supondremos que la funci´on de distribuci´on
bivariada Fpx, yq puede expresarse de la siguiente forma.

ż x ż y
Fpx, yq“ fpu, vq dv du,
´8 ´8

en donde fpu, vq es una funci´on no negativa y corresponde a la funci´on de

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