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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 295 — #301
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3.14 Distribuci´ on ji-cuadrada 295

3
a) EpXq“ n. c) EpX q“ npn ` 2qpn ` 4q.
2
b) EpX q“ npn ` 2q. d) VarpXq“ 2n.

2
432. Moda. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on χ pnq. Demues-
tre que si n ą 2 entonces X tiene una ´unica moda dada por

˚
x “ n ´ 2.

2
433. Momentos. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on χ pnq.De-
muestre que el k-´esimo momento de X es

k
k 2 Γpn{2 ` kq
EpX q“ “ npn ` 2q¨ ¨ ¨pn ` 2k ´ 2q.
Γpn{2q

2
434. F.g.m. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on χ pnq. Demues-
tre que la funci´on generadora de momentos de X es la funci´on que
aparece abajo. Use esta funci´on y sus propiedades para encontrar nue-
vamente la esperanza y la varianza de esta distribuci´on.

1
ˆ ˙ n{2
Mptq“ para t ă 1{2.
1 ´ 2t
435. Suma. Use la f.g.m. para demostrar que si X y Y son variables aleato-
2
2
rias independientes con distribuci´on χ pnq y χ pmq, respectivamente,
entonces
2
X ` Y „ χ pn ` mq.
436. Sea U una variable aleatoria con distribuci´on unifp0, 1q.Demuestre
que
2
´2lnpUq„ χ pnq, con n “ 2.
2
en donde la distribuci´on χ pnq, con n “ 2, coincide con exppλq, con
λ “ 1{2.

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