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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 294 — #300
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294 3. Distribuciones de probabilidad

Proposici´on 3.9 Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independientes,
2
cada una de ellas con distribuci´on Npµ, σ q. Entonces
pn ´ 1q S 2 2
„ χ pn ´ 1q,
σ 2
n n
1 ÿ 1 ÿ
2 ¯ 2 ¯
en donde S “ pX i ´ Xq y X “ X i .
n ´ 1 n
i“1 i“1

Para concluir esta secci´on mencionaremos que a trav´es del siguiente coman-
2
do en R se pueden obtener valores seudoaleatorios de la distribuci´on χ pnq.

2
#rchisq(k,n)genera k valores al azar de la distribuci´on χ pnq
>rchisq(5,3) #r= random
r1s 2.5946656 6.9019593 0.7172345 4.5362704 0.7995995

Ejercicios

2
427. Compruebe que la funci´on de densidad de la distribuci´on χ pnq efec-
tivamente lo es.

428. Sea X una variable aleatoria continua. Demuestre que
? ?
a) F X 2pxq“ F X p xq´ F X p´ xq, para x ą 0.
2
2
b)si X „ Np0, 1q entonces X „ χ p1q.
2
429. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on χ pnq ysea c ą 0una
constante. Defina los par´ametros α “ n{2y λ “ 1{p2cq.Demuestre
que
cX „ gammapα, λq.

430. Compruebe que la distribuci´on gammapα, λq, en donde α “ n{2 con
2
n P N y λ “ 1{2, se reduce a la distribuci´on χ pnq.
2
431. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on χ pnq.Demuestreque

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