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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 293 — #299
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3.14 Distribuci´ on ji-cuadrada 293

Proposici´on 3.7 Si X „ Np0, 1q, entonces

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X „ χ p1q.

Es decir, el cuadrado de una variable aleatoria con distribuci´on normal
est´andar tiene distribuci´on ji-cuadrada con un grado de libertad. Vea el
Ejercicio 428. Por otro lado, el siguiente resultado establece que la suma de
dos variables aleatorias independientes con distribuci´on ji-cuadrada tiene
distribuci´on nuevamente ji-cuadrada con grados de libertad la suma de los
grados de libertad de los sumandos.

Proposici´on 3.8 Sean X y Y dos variables aleatorias independientes
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con distribuci´on χ pnq y χ pmq, respectivamente. Entonces
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X ` Y „ χ pn ` mq.

En el Ejercicio 435 se pide usar la f.g.m. para demostrar este resultado, el
cual puede extenderse al caso cuando se tienen varias variables aleatorias
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independientes con distribuci´on χ . En particular, si X 1 ,... ,X n son varia-
bles independientes con distribuci´on normal est´andar, entonces la suma de
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los cuadrados X `¨ ¨ ¨ ` X tiene distribuci´on χ pnq. De este modo, si co-
n
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nocemos una forma de simular n valores al azar de la distribuci´on normal
est´andar, la suma de los cuadrados de los n´umeros obtenidos ser´a una obser-
vaci´on de la distribuci´on ji-cuadrada con n grados de libertad. Por ´ultimo,
mencionaremos el siguiente resultado, el cual es utilizado en algunos proce-
dimientos estad´ısticos.

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