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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 299 — #305
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3.15 Distribuci´ on t 299

439. F´ormula recursiva para momentos pares. Para cada entero n ě 3
sea X n una variable aleatoria con distribuci´on tpnq.Demuestre quesi
m es un n´umero par tal que 2 ď m ă n, entonces se cumple la siguiente
f´ormula recursiva

ˆ ˙ m{2
m n m´2
EpX q“ pm ´ 1q EpX n´2 q.
n
n ´ 2
En consecuencia,
ˆ ˙ m{2 ˆ ˙ pm´2q{2
n n ´ 2
m
EpX q“ n ´ 2 pm ´ 1q n ´ 4 pm ´ 3q¨ ¨ ¨
n
n ´ m ` 2
ˆ ˙
¨¨¨ p1q
n ´ m
pm ´ 1qpm ´ 3q¨ ¨ ¨ 1
“ n m{2 .
pn ´ 2qpn ´ 4q¨ ¨ ¨pn ´ mq
440. Momentos. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on tpnq con
n ą 2 y sea m ě 1 un entero. Demuestre que el m-´esimo momento de
X es
$
0 si m es impar y 2 ď m ă n,
’
’
m`1 n´m m{2
’
& Γp q Γp q n
m 2 2
EpX q“ ? n si m es par y 2 ď m ă n,
π Γp q
’ 2
’
’
%
“no existe” si m ě n.
441. Moda y mediana Demuestre que la mediana de una variable aleato-
ria con distribuci´on tpnq es cero y que tiene una ´unica moda tambi´en
en cero.
442. No existencia de la f.g.m. Demuestre que no existe la funci´on
generadora de momento para la distribuci´on tpnq.
443. Convergencia tpnqÑ Np0, 1q. Sea fpxq la funci´on de densidad de la
distribuci´on tpnq.Demuestre que
1 2
l´ım fpxq“ ? e ´x {2 .
nÑ8 2π

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